Stochastisch

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Stochastisch

Dies bedeutet, dass Werte Ergebnis eines Zufallsereignisses sind. Hierbei ist zu beachten, dass dies konkret mehrere "Grade" von Stochastik bedeuten kann.

Eine N(0,1) verteilte Zufallsvariable z.B. nimmt zwar stochastische Werte an, der mean (=0) und die Volatilität (=1) sind aber konstant.

Ein autoregressiver Gamma Prozess hingegen nimmt sowohl stochastische Werte, als auch stochastische bedingte Erwartungswerte und Volatilitäten an (siehe "Autoregressive gamma processes": Gourieroux, Jasiak; 2006).

Im Rahmen der Optionspreistheorie spielt dies eine nicht unwesentliche Rolle: Die fat tails der Verteilungen vieler underlyings (d.h. höhere Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen als unter Normalverteilung) lassen sich mit stochastischer Volatilität gut erklären. Hierbei können entweder mixed processes (gewöhnliche Diffusionen mit einer additiven Jump-Komponente) oder gewöhnliche Diffusionen mit einer zusätzlichen Gleichung für die Dynamik der zeitabhängigen Volatilität spezifiziert werden. Prof. Chesney gibt in seinem Kurs "Introduction to Mathematical Finance and Derivatives, part II (MAS)" eine schöne Einführung dazu.